SALUDOS APRECIADOS ESTUDIANTES. ÚLTIMA PARTE DEL AÑO ESCOLAR. ACÁ LES DEJO LA ÚLTIMA EVALUACIÓN DEL FORO POR ESTE AÑO.
1. DIGA 5 APLICACIONES PARA LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
2. ¿QUÉ DEBO SABER PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO?
3. ¿CUÁLES SON LOS ÁNGULOS QUE CONFORMAN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO?
24 comentarios:
1- DIGA 5 APLICACIONES PARA LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Las ecuaciones y sistemas de ecuaciones se utilizan para resolver una gran cantidad de problemas en diferentes áreas, desde cuestiones de la vida cotidiana, como el cálculo de precios de mercancía y productos varios, hasta problemas de aspectos técnicos y de las ciencias, como el cálculo de sustancias en mezclas, propiedades físicas o químicas, también en finanzas, circuitos eléctricos, entre otros muchos temas.
A continuación 5 aplicaciones específicas:
1-Problemas sobre mezclas:
EJEMPLO: Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 el kg y la segunda a 60 el kg.
¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 el kg.?
40X + 60. (60 – X) = 60.50
40X + 3600 – 60X = 3000
3600 - 3000 = 60X – 40X
600 = 20X
600/20 = X
X = 30
60-30=30
Tenemos que mezclar 30 kg de la primera clase y otros 30 de la segunda.
2-Problemas sobre relojes:
Algo que debemos tener en cuenta para resolver problemas de relojes es la siguiente regla:
El ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria.
EJEMPLO: Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las agujas?
Sea X el arco que describe la aguja horaria, veamos que este arco sería el recorrido entre las 3 y las 4 con la aguja horaria.
Por otro lado, puesto que queremos la hora en la que se superpondrán las agujas entre las 3 y las 4, necesitamos que el minutero se encuentre entre los números 3 y 4 por lo que el arco que describe el minutero debe ser 15 + X
Por la regla que mencionábamos tendremos que
15 + X= 12X
15 = 12X - X
15 = 11X
X = 15/11
Es decir, la X avanza un 1 minuto completo y fracción, los 0.36min restantes los convertimos a segundos y obtenemos que la X equivale a 1 minuto y 21 segundos.
Por lo tanto, las agujas se superpondrán un minuto y 21 segundo después de la tres y cuarto: 3 h 16 min 21 s.
3-Problemas geométricos:
Las ecuaciones de primer grado también se utilizan para resolver gran número de problemas geométricos en los que aparece una incógnita.
Podemos observar esto con el siguiente ejemplo:
Hallar el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B
Supongamos que C = X, entonces de la información del enunciado tenemos que
B = C + 40 = X + 40
A = B + 40 = (X + 40) + 40 = X + 80
un dato importante es que A, B y C representan los ángulos de un triángulo entonces
A + B + C = 180°
y de las ecuaciones anteriores tendremos que
(X + 80) + (X + 40) + X = 180
3X + 120 = 180
3X = 180 – 120
3X = 60
X= 60/3
X= 20
entonces
C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º
4-Problemas sobre grifos:
EJEMPLO: Un grifo tarda en llenar un depósito dos horas y otro grifo tarda en llenarlo tres horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito?
SOLUCIÓN
Tenemos que el primer grifo tarda 2 horas en llenar un depósito, entonces en una hora el primer grifo llena 1/2 del depósito
Tenemos que el segundo grifo tarda 3 horas en llenar un depósito, entonces en una hora el segundo grifo llena 1/3 del depósito
Si X es el total de horas para llenar el depósito, entonces en una hora los dos grifos juntos habrán llenado:
1/2 + 1/3 = 1/X
Resolvemos la ecuación racional
5/6 = 1/X
X = 6/5
Luego con los dos grifos juntos, el depósito tarda en llenarse 6/5 horas que es lo mismo que una hora con doce minutos.
5-Problemas sobre móviles:
Una de las aplicaciones que encontramos muy a menudo, son problemas sobre móviles.
Resolviendo este tipo de problemas, habitualmente, tenemos que averiguar el espacio (o la distancia que recorre un cierto móvil), la velocidad, o bien el tiempo. La relación entre estos elementos es la siguiente:
distancia = velocidad • tiempo
d= v.t
2-¿QUÉ DEBO SABER PAR RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO?
En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos:
1.Quitar denominadores.
2.Quitar paréntesis, realizando las operaciones necesarias.
3.Aplicar las reglas de transposición (dejar en algún miembro todos los términos con incógnita y en el otro miembro los términos independientes).
4.Simplificar términos semejantes.
5.Encontrar el valor de la solución.
Aplicar la regla de transposición, dejando en el primer miembro los términos con la incógnita y en el derecho los términos independientes.
Cuando un término está sumando en un miembro, pasa al otro miembro restando.
Cuando un término está restando en un miembro, pasa al otro miembro sumando.
Cuando un término está multiplicando en un miembro, pasa al otro miembro dividiendo a todo el miembro.
Cuando un término está dividiendo en un miembro, pasa al otro miembro multiplicando a todo el miembro.
3-¿CUÁLES SON LOS ÁNGULOS QUE FORMAN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO?
Un triángulo rectángulo es un polígono que consta de tres lados, tres vértices y tres ángulos.
Los ángulos que forman el triángulo rectángulo son: (α= alfa; β= beta y ϴ= theta.)
En todo triángulo rectángulo se cumple que:
Los tres ángulos interiores suman 180°.
Tiene un ángulo recto de 90° (α=90°).
Tiene dos ángulos agudos que son complementarios, es decir, que la suma de ambos es de 90°. (β + ϴ = 90°).
DIGA 5 APLICACIONES PARA LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Cada lado de la ecuación corresponde a un lado de una balanza. En cada lado se pueden colocar cantidades diferentes: si los pesos de los dos lados son iguales, la balanza se equilibra, y por analogía, la igualdad que representa la balanza también se equilibra (si no, la falta de equilibrio corresponde a una desigualdad de un numero representada por una inecuación).
En la ilustración, x, y y z son cantidades diferentes (en este caso números reales) representadas como pesos circulares, y cada una de x, y y z tiene un peso diferente. La suma corresponde a añadir peso, mientras que la resta corresponde a quitar peso del que ya hay. Cuando la igualdad se mantiene, el peso total de cada lado es el mismo.
Parámetros e incógnitas[editar]
Artículo principal: Fórmula (expresión)
Las ecuaciones a menudo contienen términos distintos de las incógnitas. Estos otros términos, que se suponen conocidos, suelen llamarse constantes, coeficientes o parámetros.
Un ejemplo de una ecuación que implica x e y como incógnitas y el parámetro R es
Cuando se elige que R tenga el valor de 2 (R = 2), esta ecuación se reconocería en coordenadas cartesianas como la ecuación del círculo de radio 2 alrededor del origen. Por lo tanto, la ecuación con R sin especificar es la ecuación general del círculo.
Normalmente, las incógnitas se denotan con letras del final del alfabeto, x, y, z, w, ...,2 mientras que los coeficientes (parámetros) se denotan con letras del principio, a, b, c, d, ... . Por ejemplo, la ecuación cuadrática general se suele escribir ax2 + bx + c = 0.
El proceso de encontrar las soluciones o, en el caso de los parámetros, de expresar las incógnitas en términos de los parámetros, se llama resolución de la ecuación. Tales expresiones de las soluciones en términos de los parámetros también se llaman soluciones.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones simultáneas, normalmente en varias incógnitas, para las que se buscan las soluciones comunes. Así, una solución del sistema es un conjunto de valores para cada una de las incógnitas que juntos forman una solución para cada ecuación del sistema. Por ejemplo, el sistema
QUÉ DEBO SABER PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO?
Pasos para resolver una ecuación de primer grado
1. Quitar paréntesis, realizando las operaciones necesarias.
1. Aplicar las reglas de transposición (dejar en algún miembro todos los términos con incógnita y en el otro miembro los términos independientes).
2. Simplificar términos semejantes.
• Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido. • El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. En este tema trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita. • Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad. • Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. • Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes propiedades: Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión. Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de cero. Ejercicios de autoaprendizaje: 1. Resolvemos algunas ecuaciones: Procedimiento para resolver una ecuación de 1r grado: • Eliminar denominadores: multiplicando ambas partes de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. (Propiedad 2) • Eliminar paréntesis. (Propiedad distributiva) • Transposición de términos. Conseguir una ecuación de la forma a ⋅ x = b . (Propiedad 1). • Despejar la incógnita. (Propiedad 2). • Comprobar la solución. a) 3( )( ) 2x + 5 − 2 4 + 4x = 7 lo primero que hacemos será las operaciones de los paréntesis 6x + 15 − 8 − 8x = 7 sumamos los términos en x y los términos independientes − 2x + 7 = 7 transponemos los términos − 2x = 7 − 7 ⇒ 0 − 2x = despejamos la incógnita ⇒ 0 x = Comprobación: Al sustituir en la ecuación x = 0, transforma la ecuación en identidad: 3( )( ) 2 ⋅ 0 + 5 − 2 4 + 4 ⋅ 0 = 7 ⇒ 3 ⋅ 5 − 2 ⋅ 4 = 7 b) 3 9 2x 2 6 x 3 4 − = + + − ⇒ Multiplicamos ambas partes de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ = ⋅ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ − 3 9 2x 6 2 6 x 3 6 4 ⇒ 24 − () ( ) x + 3 = 12 + 2 9 − 2x eliminamos los paréntesis 24 − x − 3 = 12 + 18 − 4x ⇒ x 21− x = 30 − 4 transponemos los términos 4x − x = 30 − 21 ⇒ 9 3x = despejamos la incógnita ⇒ x = 3 Comprobación: 3 9 2 3 2 6 3 3 4 − ⋅ = + + − ⇒ 33 2 66 4 − = + 2. ¿Son equivalentes las siguientes ecuaciones? a) 8 x + 5 = y 22 7x + 1 = Tenemos que resolver cada una de ellas y mirar si tienen la misma solución. Resolvemos la primera: 3 x = Resolvemos la segunda: 21 7x = ⇒ 3 x = Como tienen la misma solución son ecuaciones equivalentes. b) x + 3 = 4 y 8x + 8 = 8. Resolvemos la primera: 1 x = Resolvemos la segunda: 0 8x = ⇒ 0 x = Como no tienen la misma solución no son ecuaciones equivalentes. 3. Problemas resueltos: Procedimiento para resolver problemas de ecuaciones: • Definición de la incógnita • Traducir al lenguaje algebraico el enunciado. • Planteamiento de la ecuación. • Resolución de la ecuación. • Ver si el resultado de la ecuación es coherente con el enunciado a) Un número y su quinta parte suman 18. ¿Cuál es el número? x = el número buscado. (definición de la incógnita) Su quinta parte es 5 x (transformación al lenguaje algebraico). 18 5 x x + = (es el planteamiento de la ecuación). Resolvemos la ecuación: 5x + x = 90 ⇒ 6x = 90 ⇒ 6 90 x = ⇒ Entonces, 15 x = Notamos que al volver a leer el problema x = 15 es coherente con el enunciado, 15 más 3 (su quinta parte) son18. b) Perdí un tercio de las ovejas y llegué con 24. ¿Cuántas ovejas
CUÁLES SON LOS ÁNGULOS QUE CONFORMAN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO?
Triángulo rectángulo En geometría euclídea plana se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. 1 2 Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios. 3
Triángulo rectángulo
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Triángulo rectángulo
En geometría, se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.1 Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios,2 entre los años 2000 y 1600 a. C., en la Mesopotamia.
Terminología y casos especiales[editar]
Un triángulo rectángulo y sus elementos.
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo rectángulo y es el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto; cada cateto se opone a un ángulo agudo. Sólo si la medida de los tres lados son números enteros, estos constituyen un trío de nombre terna pitagórica.
Si los catetos son iguales se llama triángulo rectángulo isósceles ( 45-90-45); siendo
0.
Un triángulo rectángulo escaleno muy conocido, es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la hipotenusa, y estos dos lados forman un ángulo agudo de 30° y el otro ángulo de 60°, (30-90-60) y se obtiene al bisecar un triángulo equilátero por su altura; resultan estas razones entre dichos lados. Si admitimos que el lado del triángulo equilátero es y mediante una altura se obtienen dos triángulos rectángulos, tal que en cada uno la hipotenusa
1) DIGA 5 APLICACIONES PARA LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Respuesta:
a) Resolver problemas de la vida real: Ejemplo: Una tienda vende camisetas a $20 cada una. Si Juan compró 5 camisetas, ¿cuánto pagó en total? Ecuación: x = 20 * 5, donde x es el total pagado.
b) Modelar situaciones lineales: Ejemplo: La distancia recorrida por un automóvil es proporcional al tiempo. Si un auto recorre 80 km en 2 horas, ¿cuánta distancia recorrerá en 5 horas? Ecuación: d = 80/2 * t, donde d es la distancia y t es el tiempo.
c) Calcular porcentajes y proporciones: Ejemplo: Si un producto tiene un descuento del 20%, ¿cuál es el precio final si el precio original es de $50? Ecuación: x = 50 – (50 * 0.20), donde x es el precio final.
d) Resolver problemas de mezclas y concentraciones: Ejemplo: Una solución tiene 40% de alcohol. Si se agrega agua hasta obtener 1 litro de solución al 20% de alcohol, ¿cuántos mililitros de agua se agregaron? Ecuación: 0.4x + 0.2(1000-x) = 200, donde x es la cantidad de solución original.
e) Analizar y predecir tendencias: Ejemplo: El número de suscriptores de un servicio en línea aumenta linealmente en el tiempo. Si en el mes 1 había 500 suscriptores y en el mes 6 había 800, ¿cuántos suscriptores habrá en el mes 12? Ecuación: y = mx + b, donde y es el número de suscriptores, x es el mes y m y b son constantes.
2) ¿QUÉ DEBO SABER PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO?
Respuesta:
Para resolver ecuaciones de primer grado, es importante tener en cuenta los siguientes aspectos:
a) Identificar la variable: La ecuación de primer grado contiene una variable, generalmente representada por una letra como “x”, “y” o “z”.
Ejemplo: 3x + 5 = 17
b) Aislar la variable: Para resolver la ecuación, se deben realizar operaciones aritméticas para aislar la variable en un solo lado de la ecuación.
Ejemplo: 3x + 5 = 17 Restar 5 a ambos lados: 3x + 5 – 5 = 17 – 5 Simplificar: 3x = 12
c) Dividir por el coeficiente de la variable: Una vez que la variable está aislada, se divide el término independiente por el coeficiente de la variable para encontrar el valor de la variable.
Ejemplo: 3x = 12 Dividir ambos lados por 3: x = 12 / 3 Simplificar: x = 4
d) Verificar la solución: Una vez encontrado el valor de la variable, se debe verificar que la solución satisfaga la ecuación original.
Ejemplo: Reemplazar x = 4 en la ecuación original: 3(4) + 5 = 17 Simplificar: 12 + 5 = 17 Comprobar que 17 = 17, por lo que la solución es correcta.
3. ¿CUÁLES SON LOS ÁNGULOS QUE CONFORMAN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO?
Respuesta:
Los ángulos que conforman un triángulo rectángulo son:
Ángulo recto: Un ángulo de 90 grados.
Ángulos agudos: Dos ángulos menores a 90 grados.
Específicamente, en un triángulo rectángulo tenemos:
Un ángulo recto de 90 grados.
Dos ángulos agudos, cada uno menor a 90 grados.
La suma de los tres ángulos de un triángulo rectángulo siempre es 180 grados.
Ejemplo:
Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo ABC, donde el ángulo en A es recto (90 grados). Los otros dos ángulos, B y C, serán ángulos agudos, es decir, menores a 90 grados.
La suma de los tres ángulos del triángulo ABC será:
Ángulo A = 90 grados Ángulo B = Ángulo agudo Ángulo C = Ángulo agudo
Ángulo A + Ángulo B + Ángulo C = 180 grados
En resumen, los ángulos que conforman un triángulo rectángulo son: un ángulo recto de 90 grados y dos ángulos agudos menores a 90 grados.
¿Diga Cinco aplicaciones para las ecuaciones de primer grado?
R.1_
1. Problemas sobre mezclas.
2. Problemas sobre relojes. Recordad que el ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria.
3. Problemas geométricos.
4. Problemas sobre grifos.
5. Problemas sobre moviles.
¿Qué debo saber para resolver ecuaciones de primer grado?
R.2_ Una ecuación de primer grado o líneal o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
¿Cuáles son los ángulos que conforman el triángulo rectangulo?
R.3_ En geometría, se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana.
En todo triángulo rectángulo se cumple que: Tiene un ángulo recto (90°). Tiene dos ángulos agudos que son complementarios, es decir, que la suma de ambos es de 90°. La hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos.
Es Deliannys Arrieche
1_ Diga 5 aplicaciones para las ecuaciones de primer grado.
R1_ Una ecuación de primer grado o líneal o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
En la vida cotidiana sus aplicaciones las veríamos en:
1. Para resolver problemas de edades.
2. Para resolver problemas sobre mezclas.
3. Para resolver problemas sobre móviles.
4. Para plantear, resolver problemas sobre móviles que seguirán formulación/ incógnitas.
5. Para establecer el costo de producción de un producto.
2_ ¿Qué se debe saber para resolver aplicaciones de primer grado?
R2_ Se debe saber despejar, que la incógnita a un lado (llamado primer ministro) y los valores en el segundo miembro.
2x+2 = x+5
2x-x = 5-2
↑ ↑ ↑ ↑ ↑↑
Primer Segundo
Miembro Miembro
Además, si se está sumando pasa a resta, si se está sumando pasa a suma, si se está multiplicando pasa a dividir, si se diciendo pasa a multiplicar.
Estos despejes se llaman Transposición de Términos.
En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos:
1.Quitar denominadores.
2.Quitar paréntesis, realizando las operaciones necesarias.
3.Aplicar las reglas de transposición (dejar en algún miembro todos los términos con incógnita y en el otro miembro los términos independientes).
4.Simplificar términos semejantes.
5.Encontrar el valor de la solución.
3_ ¿Cuáles son los ángulos que conforman el triángulo rectangular?
R3_ Los ángulos de la parte de arriba y abajo hacia la derecha, son llamados ángulos agudos, y en el de abajo a la izquierda ángulo recto (forman un ángulo de 90°)
Ángulos menores de 90°
90°, se lee noventa grados.
En geometría, se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana.
Es Eloísa Fernández.
Una ecuacio de primer grado, es aquella que, tras simplificación, contiene incógnitas elevadas a la primera poder solamente.
¿Porque hablamos de simplificación?
Si miramos la siguientes ecuación, como tenemos , podemos pensar que se trata de una ecuación de segundo grado.
Pero, simplificando, notamos que:
Se trata entonces de una ecuación de primer grado.
Para mejor entender el concepto de ecuación, es importante entender el significado de los siguientes términos:
Una igualdad es una expresión formada por dos miembros entre cuales tenemos el signo igual.Tomando el ejemplo de arriba, es una igualdadUna identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.Por ejemplo,
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras
1. DIGA 5 APLICACIONES PARA LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO.: Problemas sobre mezclas.
Problemas sobre relojes. Recordad que el ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria.
Problemas geométricos.
Problemas sobre grifos.
Problemas sobre moviles
2. ¿QUÉ DEBO SABER PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO?: Quitar denominadores.
Quitar paréntesis, realizando las operaciones necesarias.
Aplicar las reglas de transposición (dejar en algún miembro todos los términos con incógnita y en el otro miembro los términos independientes).
Simplificar términos semejantes.
Ejemplo: Encuentre el valor de la incógnita en la ecuación y – 4 = 6.
Solución:
a) Aplicar la regla de transposición, el -4 está restando, pasa sumando al segundo miembro de la ecuación.
b) Simplificar la ecuación sumando términos semejantes y encontrar el valor de la incógnita
y – 4 = 6
y = 6 + 4
y = 10
3. ¿CUÁLES SON LOS ÁNGULOS QUE CONFORMAN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO?: En geometría, se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.[1] Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios,[2] entre los años 2000 y 1600 a. C., en la Mesopotamia.
R1 Ecuacion
El primer uso del signo de igualdad. La ecuación equivale a la notación moderna 14x + 15 = 71. 1
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos y datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes, también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores; los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.nota 1Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica siguiente:
3
�
−
1
⏞
primer miembro
=
9
+
�
⏞
segundo miembro
{\displaystyle \overbrace {3x-1} ^{\text{primer miembro}}=\overbrace {9+x} ^{\text{segundo miembro}}}
la variable
�
{\displaystyle x} representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisface. Para el caso dado, la solución es:
�
=
5
{\displaystyle x=5}
En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
El símbolo «=», que aparece en cada ecuación, fue inventado en 1557 por Robert Recorde, quien consideró que no había nada más igual que dos líneas rectas paralelas de la misma longitud.1
Una ecuación se escribe como dos expresiones, conectadas por un signo igual ("=").234 Las expresiones en los dos lados del signo igual se denominan "lado izquierdo" y "lado derecho" de la ecuación. Muy a menudo se supone que el lado derecho de una ecuación es cero. Suponiendo que esto no reduce la generalidad, ya que esto se puede realizar restando el lado derecho de ambos lados.
El tipo más común de ecuación es una ecuación polinomial (comúnmente llamada también ecuación algebraica ) en la que los dos lados son polinomios. Los lados de una ecuación polinomial contienen uno o más términos . Por ejemplo, la ecuación
�
�
2
+
�
�
+
�
−
�
=
0
{\displaystyle Ax^{2}+Bx+C-y=0}
tiene el lado izquierdo
�
�
2
+
�
�
+
�
−
�
{\displaystyle Ax^{2}+Bx+C-y}, que tiene cuatro términos, y el lado derecho
0
{\displaystyle 0}, que consta de un solo término. Los nombres de las variables sugieren que x ∧ y son incógnitas, y que A, B, y C son parámetros, pero esto es normalmente fijado por el contexto (en algunos contextos, y puede ser un parámetro, o A, B, y C pueden ser variables ordinarias).
Una ecuación es análoga a una balanza en la que se colocan pesos. Cuando se colocan pesos iguales de algo (por ejemplo, grano) en los dos platillos, los dos pesos hacen que la balanza esté en equilibrio y se dice que son iguales. Si se retira una cantidad de grano de uno de los platillos de la balanza, debe retirarse una cantidad igual de grano del otro platillo para que la balanza siga en equilibrio. Más generalmente, una ecuación permanece en equilibrio si se realiza la misma operación en sus dos lados.
QUÉ DEBO SABER PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO?
En matemática, la resolución de una ecuación es el procedimiento de cálculo para encontrar los valores (números, funciones, conjuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una ecuación). Estos valores se suelen denominar raíces de la ecuación cuando un lado de dicha igualdad equivale a cero previamente de encontrar dichos valores. La resolución de multiplicaciones polinómicas, o algebraicas, juega un papel importante en el nacimiento y posterior desarrollo del álgebra. La rama de las matemáticas que las estudia es la teoría de ecuaciones.1
Para poder resolver ecuaciones se necesita despejar las incógnitas
Una ecuación comprende expresiones con variables indefinidas, o incógnitas, que deben ser sustituidas por valores de forma tal que la igualdad sea cierta. Para caracterizar las soluciones de una ecuación se imponen restricciones sobre las incógnitas. En general, se pide que pertenezcan a un conjunto numérico específico.
La resolución de multiplicaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas mediante factorización de raíces es bastante sencilla cuando las raíces son racionales o reales; también hay fórmulas que proporcionan las soluciones. Sin embargo, no hay una fórmula general en términos de raíces para las ecuaciones de quinto grado sobre los racionales; mediante un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces. Esto lo probó por primera vez el teorema de Abel-Ruffini, publicado en 1824, que fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en el álgebra. Este resultado también se cumple para ecuaciones de mayor grado.
Una ecuación puede resolverse numéricamente o simbólicamente. Resolver una ecuación numéricamente significa que sólo se admiten números como soluciones. Resolver una ecuación simbólicamente significa que se pueden utilizar expresiones para representar las soluciones.
Por ejemplo, la ecuación x + y = 2x - 1 se resuelve para la incógnita x mediante la expresión x = y + 1, porque sustituyendo y + 1 por x en la ecuación resulta (y + 1) + y = 2(y + 1) - 1, una afirmación verdadera. También es posible tomar la variable y como la incógnita, y entonces la ecuación se resuelve con y = x - 1. O x y y pueden ser tratadas como incógnitas, y entonces hay muchas soluciones a la ecuación; una solución simbólica es (x, y) = (a + 1, a), donde la variable a puede tomar cualquier valor. Instanciando una solución simbólica con números específicos se obtiene una solución numérica; por ejemplo, a = 0 da (x, y) = (1, 0) (es decir, x = 1, y = 0), y a = 1 da (x, y) = (2, 1).
La distinción entre variables conocidas y variables desconocidas se hace generalmente en el enunciado del problema, mediante frases como "una ecuación en x y y", o "resolver para x e y", que indican las incógnitas, aquí x e y. Sin embargo, es común reservar x, y, z, ... para denotar las incógnitas, y utilizar a, b, c, ... para denotar las variables conocidas, que a menudo se llaman parámetros. Este es típicamente el caso cuando se considera ecuación polinómicas, tales como ecuación cuadráticas. Sin embargo, para algunos problemas, todas las variables pueden asumir cualquier papel.
Dependiendo del contexto, resolver una ecuación puede consistir en encontrar cualquier solución (encontrar una única solución es suficiente), todas las soluciones, o una solución que satisfaga más propiedades, como pertenecer a un intervalo dado. Cuando la tarea consiste en encontrar la solución mejor según algún criterio, se trata de un problema de optimización. La resolución de un problema de optimización no suele denominarse "resolución de ecuaciones", ya que, por lo general, los métodos de resolución parten de una solución concreta para encontrar una solución mejor, y repiten el proceso hasta encontrar finalmente la mejor solución.
CUÁLES SON LOS ÁNGULOS QUE CONFORMAN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO?
Triángulo rectángulo de lados consecutivos: las medidas de sus lados tienen 3, 4 y 5 unidades de longitud.
Aparece en las culturas del cercano oriente: Babilonia y Egipto. Histórico, útil y didáctico, adaptable a un
geoplano.
8 Sin lados consecutivos es el triángulo de lados que miden 5,12 y 13 unidades de longitud, menos
conocido que el anterior.
Las relaciones métricas del triángulo rectángulo son cuatro. Los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa
son rectángulos y semejantes.
La hipotenusa es igual a la suma de las
proyecciones.
Por semejanza de triángulos, tenemos que:
El cuadrado de la altura relativa de los
catetos.
El cuadrado de un cateto, es igual al producto
entre su proyección (que se encuentra de su
lado) y la hipotenusa.
El producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella, es igual al producto de los catetos.
El teorema de Pitágoras establece que:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa
El triángulo rectángulo. Los tres ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180º. En un triángulo rectángulo uno de los ángulos es recto, luego los dos ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo suman 90º, es decir, son complementarios.
Los triángulos son los polígonos con menos lados que pueden existir.
Todos los triángulos tienen 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos interiores.
Su nombre específico es TRÍGONO, aunque comúnmente se les ha llamado TRIÁNGULOS, forma que se ha
extendido y es como la mayoría de personas los conoce.
PROPIEDADES de los TRIÁNGULOS
LOS TRIÁNGULOS SON LOS POLÍGONOS MÁS BÁSICOS, PERO LOS MÁS ESPECIALES.
● Los tres ángulos interiores de un triángulo siempre miden 180o
.
● Cualquier polígono se puede subdividir en triángulos. Se puede hacer de varias formas, aunque la más fácil
es trazando sus diagonales.
● Los triángulos son el único tipo de polígonos que no tienen diagonales.
● Todos los triángulos son cíclicos (o inscritos) y tangenciales (o circunscritos). Esta propiedad no la cumple
ningún otro tipo de polígono.
● Es relativamente fácil averiguar cuánto mide un ángulo o un lado desconocido en un triángulo. Incluso, se
pueden averiguar dos de sus lados o ángulos teniendo una serie de datos
● Como cualquier polígono se puede subdividir en triángulos y los triángulos tienen numerosas relaciones
matemáticas, estudiadas por la TRIGONOMETRÍA, podemos aplicar las propiedades de los triángulos al estudio
del resto de polígonos. Es por ello que son tan especiales, importantes y maravillosos
EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO, Y SUS PROPIEDADES “MÁGICAS”.
Elementos de un triángulo
rectángulo.
HIPOTENUSA
CATETO
CATETO
TEOREMA DE PITÁGORAS. Pitágoras de Samos fue un importante matemático griego
que en el año 500 antes de Cristo, aproximadamente,descubrió que entre los lados y
ángulos de los triángulos había grandes relaciones, especialmente en los triángulos
rectángulos. Aunque otros matemáticos habían descubierto algunas de estas reglas antes, y
posteriormente otros descubrirían muchas más, Pitágoras marcó un importante hito en la
historia, y desarrolló la TRIGONOMETRÍA (rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre la medida de los ángulos y los lados de los triángulos).
TEOREMA DE PITÁGORAS: “La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado.”
Gracias a la trigonometría podemos conocer lo que miden ciertos ángulos y lados de algunos triángulos y de
otros polígonos sin medirlos. Una de los descubrimientos más importantes y aplicados a todos los ámbitos de
nuestra vida es el TEOREMA DE PITÁGORAS.
1) ¿ Diga 5 Aplicaciones para las Ecuaciones de primer Grado?
R) 1- problemas sobre mezclas .
2- problemas Geométricas.
3- problemas sobre, recordar que el Ángulo o Arco , descrito que Recorre el minutero es siempre ( 2 veces mayor que el Arco que describe la aguja horaria .
4- problemas sobre Grifos .
5- problemas sobre moviles .
2) ¿ Que debo saber para resolver Ecuaciones de primer Grado?
R) 1: Quitar denominadores.
2: Quitar paréntesis. Realizando las operaciones necesarios.
3: Aplicar las reglas de transposición (dejar en algún miembro todos los términos con incógnita y en el otro miembro los términos independientes ) .
4: simplificar términos semejantes .
5: para resolver ecuaciones de primer grado, se aplica la transposición en los siguientes puntos:
Ejemplo:
1) Encuentre el valor de la incógnita en la ecuación y - 4 =6
A) Aplicar la regla de transposición , el - 4 está restando pasa sumando al segundo miembro de la ecuación.
B) simplificar la ecuación sumando términos semejantes y encontar el valor de la incógnita .
Y - 4 = 6
Y = 6 +4
Y = 10
3) ¿ Cuales son los Ángulos que conforman el triángulo rectángulo?
R) tiene un Ángulo Recto de ( 90° ) . Dos Ángulos Agudos que son complementarios , es decir, que la suma de ambos es de 90° y la hipotenusa siempre es Mayor que cualquiera de los catetos .
* Tipos de triangulos rectángulo:
- triangulo rectángulo isósceles .
- triangulo rectángulo escaleno .
- triangulo rectángulo de lados consecutivas .
1-) Diga 5 aplicaciones para las Ecuaciones de primer grado.
a-) Resolver problemas de la vida real: Ejemplo: Una tienda vende camisetas a $20 cada una. Si Juan compró 5 camisetas, ¿cuánto pagó en total? Ecuación: x = 20 * 5, donde x es el total pagado.
b) Modelar situaciones lineales: Ejemplo: La distancia recorrida por un automóvil es proporcional al tiempo. Si un auto recorre 80 km en 2 horas, ¿cuánta distancia recorrerá en 5 horas? Ecuación: d = 80/2 * t, donde d es la distancia y t es el tiempo.
c) Calcular porcentajes y proporciones: Ejemplo: Si un producto tiene un descuento del 20%, ¿cuál es el precio final si el precio original es de $50? Ecuación: x = 50 – (50 * 0.20), donde x es el precio final.
d) Resolver problemas de mezclas y concentraciones: Ejemplo: Una solución tiene 40% de alcohol. Si se agrega agua hasta obtener 1 litro de solución al 20% de alcohol, ¿cuántos mililitros de agua se agregaron? Ecuación: 0.4x + 0.2(1000-x) = 200, donde x es la cantidad de solución original.
e) Analizar y predecir tendencias: Ejemplo: El número de suscriptores de un servicio en línea aumenta linealmente en el tiempo. Si en el mes 1 había 500 suscriptores y en el mes 6 había 800, ¿cuántos suscriptores habrá en el mes 12? Ecuación: y = mx + b, donde y es el número de suscriptores, x es el mes y m y b son constantes.
2-) Que debo hacer para resolver Ecuaciones de primer grado
R-) a-)Quitar denominadores.
b-)Quitar paréntesis, realizando las operaciones necesarias.
c-)Aplicar las reglas de transposición (dejar en algún miembro todos los términos con incógnita y en el otro miembro los términos independientes).
d-)Simplificar términos semejantes.
Encontrar el valor de la solución.
Ejemplo: Encuentre el valor de la incógnita en la ecuación y – 4 = 6.
Solución:
a) Aplicar la regla de transposición, el -4 está restando, pasa sumando al segundo miembro de la ecuación.
b) Simplificar la ecuación sumando términos semejantes y encontrar el valor de la incógnita
y – 4 = 6
y = 6 + 4
y = 10
3-) Cuáles son los Angulos que conforman un Triángulo Rectángulo.? R-) Un triángulo rectángulo es un polígono que consta de tres lados, tres vértices y tres ángulos.
Los ángulos que forman el triángulo rectángulo son: (α= alfa; β= beta y ϴ= theta.)
En todo triángulo rectángulo se cumple que:
Los tres ángulos interiores suman 180°.
Tiene un ángulo recto de 90° (α=90°).
Tiene dos ángulos agudos que son complementarios, es decir, que la suma de ambos es de 90°. (β + ϴ = 90°).
Las ecuaciones sirven para resolver diferentes problemas matemáticos, geométricos, químicos, físicos o de cualquier otra índole, que tienen aplicaciones tanto en la vida cotidiana como en la investigación y desarrollo de proyectos científicos.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas, y también puede darse el caso de que no tengan ninguna solución o de que sea posible más de una solución.
A continuación 5 aplicaciones específicas:
1-Problemas sobre mezclas:
EJEMPLO: Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 el kg y la segunda a 60 el kg.
¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 el kg.?
40X + 60. (60 – X) = 60.50
40X + 3600 – 60X = 3000
3600 - 3000 = 60X – 40X
600 = 20X
600/20 = X
X = 30
60-30=30
Tenemos que mezclar 30 kg de la primera clase y otros 30 de la segunda.
2-Problemas sobre relojes:
Algo que debemos tener en cuenta para resolver problemas de relojes es la siguiente regla:
El ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria.
EJEMPLO: Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las agujas?
Sea X el arco que describe la aguja horaria, veamos que este arco sería el recorrido entre las 3 y las 4 con la aguja horaria.
Por otro lado, puesto que queremos la hora en la que se superpondrán las agujas entre las 3 y las 4, necesitamos que el minutero se encuentre entre los números 3 y 4 por lo que el arco que describe el minutero debe ser 15 + X
Por la regla que mencionábamos tendremos que
15 + X= 12X
15 = 12X - X
15 = 11X
X = 15/11
Es decir, la X avanza un 1 minuto completo y fracción, los 0.36min restantes los convertimos a segundos y obtenemos que la X equivale a 1 minuto y 21 segundos.
Por lo tanto, las agujas se superpondrán un minuto y 21 segundo después de la tres y cuarto: 3 h 16 min 21 s.
3-Problemas geométricos:
Las ecuaciones de primer grado también se utilizan para resolver gran número de problemas geométricos en los que aparece una incógnita.
Podemos observar esto con el siguiente ejemplo:
Hallar el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B
Supongamos que C = X, entonces de la información del enunciado tenemos que
B = C + 40 = X + 40
A = B + 40 = (X + 40) + 40 = X + 80
un dato importante es que A, B y C representan los ángulos de un triángulo entonces
A + B + C = 180°
y de las ecuaciones anteriores tendremos que
(X + 80) + (X + 40) + X = 180
3X + 120 = 180
3X = 180 – 120
3X = 60
X= 60/3
X= 20
entonces
C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º
4-Problemas sobre grifos:
EJEMPLO: Un grifo tarda en llenar un depósito dos horas y otro grifo tarda en llenarlo tres horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito?
SOLUCIÓN
Tenemos que el primer grifo tarda 2 horas en llenar un depósito, entonces en una hora el primer grifo llena 1/2 del depósito
Tenemos que el segundo grifo tarda 3 horas en llenar un depósito, entonces en una hora el segundo grifo llena 1/3 del depósito
Si X es el total de horas para llenar el depósito, entonces en una hora los dos grifos juntos habrán llenado:
1/2 + 1/3 = 1/X
Resolvemos la ecuación racional
5/6 = 1/X
X = 6/5
Luego con los dos grifos juntos, el depósito tarda en llenarse 6/5 horas que es lo mismo que una hora con doce minutos.
5-Problemas sobre móviles:
Una de las aplicaciones que encontramos muy a menudo, son problemas sobre móviles.
Resolviendo este tipo de problemas, habitualmente, tenemos que averiguar el espacio (o la distancia que recorre un cierto móvil), la velocidad, o bien el tiempo. La relación entre estos elementos es la siguiente:
distancia = velocidad • tiempo
d= v.t
2.¿Que debo saber para resolver ecuaciones de segundo grado?
1.Quitar denominadores.
2.Quitar paréntesis, realizando las operaciones necesarias.
3.Aplicar las reglas de transposición (dejar en algún miembro todos los términos con incógnita y en el otro miembro los términos independientes).
4.Simplificar términos semejantes.
5.Encontrar el valor de la solución.
Ejemplo: Encuentre el valor de la incógnita en la ecuación y – 4 = 6.
Solución:
a) Aplicar la regla de transposición, el -4 está restando, pasa sumando al segundo miembro de la ecuación.
b) Simplificar la ecuación sumando términos semejantes y encontrar el valor de la incógnita
y – 4 = 6
y = 6 + 4
y = 10
Ejemplo: Encuentre el valor de la incógnita en la ecuación 3w – 3 = 4w + 11
Solución:
a) Aplicar la regla de transposición, dejando en el primer miembro los términos con la incógnita y en el derecho los términos independientes. -3 está restando pasa sumando al segundo miembro de la ecuación y 4w está sumando pasa restando al primer miembro.
b) Simplificar la ecuación sumando términos semejantes.
c) Multiplicar la ecuación por -1 y encontrar la solución.
3w – 3 = 4w + 11
3w – 4w = 11 + 3
– w = 14
(- 1)( – w = 14)
w = – 14
Ejemplo: Resuelve la ecuación 4 (x – 2) – 5 (x – 6) = 8 (x + 1) – 3 (2x + 3)
Solución: En esta ecuación es necesario quitar los paréntesis realizando las operaciones necesarias.
a) Quitar paréntesis realizando las operaciones necesarias.
b) Aplicar la regla de transposición de término.
c) Simplificar la ecuación sumando términos semejantes.
d) Aplicar la regla para transposición de términos. -3 está multiplicando, pasa dividiendo al segundo miembro.
e) Aplicar la regla para transposición de términos. -3 está multiplicando, pasa dividiendo al segundo miembro.
4(x – 2) -5(x – 6) = 8(x+1)-3(2x + 3)
4x – 8 – 5x + 30 = 8x + 8 – 6x – 9
4x – 5x – 8x + 6x = 8 – 9 + 8 – 30
10x – 13x = 16 – 39
-3x = – 23
3.¿Cuales son los ángulos que conforman el triángulo rectángulo?
En geometría, se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios,entre los años 2000 y 1600 a. C., en la Mesopotamia.
En todo triángulo rectángulo se cumple que:
*Tiene un ángulo recto (90°).
*Tiene dos ángulos agudos que son complementarios, es decir, que la suma de ambos es de 90°.
*La hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos.
*El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
*La suma de la longitud de la hipotenusa y el diámetro de un círculo inscrito en el triángulo es igual a la suma de la longitud de los catetos.
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